Flashcard FC785315
Em uma amostra i.i.d. de \(N(\mu,\sigma^2)\), qual é a distribuição amostral da média amostral e por que ela é o estimador UMVU de \(\mu\)?
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Instituto AOCP · 2024
Em uma amostra i.i.d. de \(N(\mu,\sigma^2)\), qual é a distribuição amostral da média amostral e por que ela é o estimador UMVU de \(\mu\)?
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Resposta
\( \bar X \sim N(\mu,\sigma^2/n)\). Porque \(\bar X\) é não viesada, \(\mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^2/n\), e é função de uma estatística suficiente, portanto UMVU pelo Teorema de Lehmann-Scheffé.Explicação:
Efeito de linearidade e independência: \( \bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\) e cada \(X_i\sim N(\mu,\sigma^2)\), logo \(\bar X\) é normal.
Não viesada: \(E[\bar X]=\frac{1}{n}\sum E[X_i]=\mu\).
Variância: \(\mathrm{Var}(\bar X)=\frac{1}{n^2}\sum \mathrm{Var}(X_i)=\frac{\sigma^2}{n}\).
Suficiência e otimalidade: \(\bar X\) é função da estatística suficiente para \(\mu\), então pelo Teorema de Lehmann-Scheffé não há estimador não viesado com variância menor, portanto é UMVU.
Exemplo:
Suponha \(\sigma^2=25\) e \(n=5\). Então \( \bar X\sim N(\mu,25/5)=N(\mu,5)\).
Queremos \(P(|\bar X-\mu|\le 2)=P\!\Big(|Z|\le\frac{2}{\sqrt{5}}\Big)=2\Phi\!\Big(\frac{2}{\sqrt{5}}\Big)-1\).
Como \(\frac{2}{\sqrt{5}}\approx0{,}8944\) e \(\Phi(0{,}8944)\approx0{,}8133\), obtemos \(P\approx2\cdot0{,}8133-1=0{,}6266\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/784114
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