Como determinar a fase inicial φ a partir de x(0)=x0 e, em seguida, calcular o menor t>0 tal que x(t)=x1 em movimento harmônico simples?

Use x(0)=A\cos\varphi e v(0)=-A\omega\sin\varphi, assim \(\varphi=\operatorname{atan2}\big(-v(0)/(A\omega),\,x(0)/A\big)\) e para achar t solve \(\cos(\omega t+\varphi)=x_1/A\), escolhendo o menor \(t>0\).

Explicação
Calcule a amplitude por \(A=\sqrt{x(0)^2+\big(\tfrac{v(0)}{\omega}\big)^2}\).
Determine \(\varphi\) usando \(\cos\varphi=\tfrac{x(0)}{A}\) e \(\sin\varphi=-\tfrac{v(0)}{A\omega}\), garantindo o quadrante correto com \(\operatorname{atan2}\).
Para o instante mínimo com \(x(t)=x_1\), resolva \(\omega t+\varphi=\pm\arccos\!\big(\tfrac{x_1}{A}\big)+2\pi n\), escolha o menor \(t>0\) entre essas soluções, \(t=\big(\pm\arccos(\tfrac{x_1}{A})-\varphi+2\pi n\big)/\omega\).

Exemplo:
Considere \(\omega=20\ \text{rad/s}\), \(x(0)=0.020\ \text{m}\), \(v(0)=-0.400\ \text{m/s}\), queremos o primeiro instante em que \(x(t)=-0.010\ \text{m}\).
Calcule \(A=\sqrt{0.020^2+(-0.400/20)^2}=\sqrt{0.0004+0.0004}=0.028284\ \text{m}\).
Então \(\cos\varphi=0.020/0.028284=0.7071\), \(\varphi\approx\pi/4\).
Para \(x_1\), temos \(\arccos(x_1/A)=\arccos(-0.01/0.028284)\approx1.9315\ \text{rad}\).
Escolhendo a solução menor positiva, \(\omega t=\;1.9315-\varphi=1.9315-0.7854=1.1461\ \text{rad}\).
Logo \(t=1.1461/20\approx0.0573\ \text{s}\).