Como se obtêm as frequências normais de um sistema de dois osciladores lineares acoplados?

Assumindo soluções harmônicas \(x_i=A_i e^{i\omega t}\), monta-se o sistema linear para \(A_i\), impõe-se que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero e resolve-se para \(\omega\).

Explicação e exemplo:
Passos: assumir \(x_i=A_i e^{i\omega t}\), substituir nas equações lineares, obter o sistema \(\mathbf{M}(\omega)\mathbf{A}=0\), exigir \(\det\mathbf{M}(\omega)=0\) e resolver para \(\omega^2\). Os autovalores \(\omega^2\) dão as frequências normais e os autovetores as formas dos modos.

Exemplo prático: dois blocos idênticos de massa \(m\) ligados a paredes por molas de constante \(k\) e entre si por uma mola de constante \(k_c\). As equações lineares são
\(m\ddot x_1=-k x_1-k_c(x_1-x_2)\),
\(m\ddot x_2=-k x_2-k_c(x_2-x_1)\).
Assumindo \(x_i=A_i e^{i\omega t}\) obtemos o determinante que leva às frequências
\(\omega_1^2=\dfrac{k}{m}\), modo em que as massas oscilam em fase, a mola de acoplamento não se deforma,
\(\omega_2^2=\dfrac{k+2k_c}{m}\), modo em que as massas oscilam em oposição de fase e a mola de acoplamento se deforma.

Exemplo numérico: se \(m=1\ \text{kg}\), \(k=10\ \text{N/m}\), \(k_c=2\ \text{N/m}\), então
\(\omega_1=\sqrt{10/1}= \sqrt{10}\ \text{rad/s}\),
\(\omega_2=\sqrt{(10+2\cdot2)/1}=\sqrt{14}\ \text{rad/s}\).