Por que a velocidade de fase de ondas sonoras em um meio dispersivo depende da frequência?

Porque as propriedades elásticas e de absorção do meio variam com a frequência, fazendo o módulo de compressibilidade efetivo depender de \(f\) e, assim, alterando a velocidade de fase.

Em meios dispersivos, processos de relaxação tornam o módulo elástico efetivo \(K_{\text{ef}}(f)\) dependente da frequência, portanto \(c(f)=\sqrt{K_{\text{ef}}(f)/\rho}\). Como \(c=\lambda f\), mudanças em \(c(f)\) implicam que cada componente espectral tem comprimento de onda distinto.

Exemplo:
Em ultrassonografia médica, suponha que \(c(1\ \text{MHz})=1540\ \text{m/s}\) e \(c(5\ \text{MHz})=1550\ \text{m/s}\). Então
\(\lambda_1=\dfrac{c(1\ \text{MHz})}{1\times10^6}=\dfrac{1540}{10^6}=1{,}54\times10^{-3}\ \text{m}=1{,}54\ \text{mm}\)
\(\lambda_2=\dfrac{c(5\ \text{MHz})}{5\times10^6}=\dfrac{1550}{5\times10^6}=0{,}31\times10^{-3}\ \text{m}=0{,}31\ \text{mm}\)
Isso ilustra como uma pequena variação de \(c(f)\) altera \(\lambda\) e afeta resolução e propagação do sinal.