Quais condições físicas determinam as cargas finais ao colocar dois condutores metálicos em contato?

Conservação da carga e igualdade dos potenciais, para esferas \(V=k_0\frac{q}{R}\).

Explicação:
Se \(Q_{\text{tot}}=Q_a+Q_b\) é a carga total, vale a conservação \(q_1'+q_2'=Q_{\text{tot}}\).
Como os potenciais se igualam, \(k_0\frac{q_1'}{R_1}=k_0\frac{q_2'}{R_2}\), logo \(\frac{q_1'}{R_1}=\frac{q_2'}{R_2}\).
Daí seguem as soluções gerais:
\(q_1'=\dfrac{R_1}{R_1+R_2}\,Q_{\text{tot}}\), \quad \(q_2'=\dfrac{R_2}{R_1+R_2}\,Q_{\text{tot}}\),
e o potencial comum \(V=k_0\dfrac{Q_{\text{tot}}}{R_1+R_2}\).

Exemplo:
Considere \(R_1=0{,}02\ \mathrm{m}\), \(R_2=0{,}03\ \mathrm{m}\), \(Q_a=5\ \mu\mathrm{C}\), \(Q_b=-1\ \mu\mathrm{C}\).
Então \(Q_{\text{tot}}=4\times10^{-6}\ \mathrm{C}\).
\(q_1'=4\times10^{-6}\dfrac{0{,}02}{0{,}05}=1{,}6\times10^{-6}\ \mathrm{C}\),
\(q_2'=4\times10^{-6}\dfrac{0{,}03}{0{,}05}=2{,}4\times10^{-6}\ \mathrm{C}\).
Potencial comum: \(V=k_0\dfrac{4\times10^{-6}}{0{,}05}\approx7{,}192\times10^{5}\ \mathrm{V}\).