Quando ocorre equilíbrio radioativo em um par pai-filho e qual a relação entre as atividades?

Quando a taxa de produção da filha iguala sua taxa de decaimento, portanto as atividades do pai e da filha são iguais, \(A_p=A_d\).

Em um par pai-filho temos \( \frac{dN_d}{dt}=\lambda_p N_p - \lambda_d N_d\). No equilíbrio \( \frac{dN_d}{dt}=0\), logo \( \lambda_p N_p=\lambda_d N_d\), e como atividade é \(A=\lambda N\) segue \(A_p=A_d\). No equilíbrio secular, a meia‑vida do pai é muito maior que a da filha, assim \(N_p\) varia pouco e o sistema atinge rapidamente o equilíbrio.

Exemplo:
Considere \(T_{1/2,p}=1000\ \text{h}\), \(T_{1/2,d}=10\ \text{h}\) e \(N_p=1{,}0\times10^6\).
Calcule \( \lambda_p=\frac{\ln2}{1000}=6{,}93\times10^{-4}\ \text{h}^{-1}\), \( \lambda_d=\frac{\ln2}{10}=6{,}93\times10^{-2}\ \text{h}^{-1}\).
Em equilíbrio \(N_d=\frac{\lambda_p}{\lambda_d}N_p=0{,}01\times10^6=1{,}0\times10^4\).
Atividades: \(A_p=\lambda_p N_p=6{,}93\times10^{-4}\times1{,}0\times10^6=693\), \(A_d=\lambda_d N_d=6{,}93\times10^{-2}\times1{,}0\times10^4=693\).
Assim \(A_p=A_d\), demonstrando o equilíbrio.