Qual a velocidade mínima necessária no ponto mais alto de um loop circular para que um corpo permaneça em contato com a pista?

Resposta

v_min: \(v_{\text{top}}=\sqrt{gR}\)

Explicação: No ponto mais alto, a condição de contato pode ocorrer com \(N=0\), então a força centrípeta é fornecida apenas pelo peso, \(m v^2/R = mg\), levando a \(v^2=gR\).
Para um cilindro que rola sem deslizar, a energia cinética total é \(K=\tfrac{1}{2}mv^2+\tfrac{1}{2}I\omega^2\). Com \(I=\tfrac{1}{2}mr^2\) e \(\omega=v/r\), obtém-se \(K=\tfrac{3}{4}mv^2\). Em conservação de energia, a energia inicial deve cobrir a variação de energia potencial até o topo mais essa energia cinética exigida.

Calcular a altura mínima \(H_{\min}\) de onde um cilindro maciço deve ser solto para completar o loop (sem mola):

Conservação de energia: \(mgH = mg(2R) + K_{\text{top}}\), com \(K_{\text{top}}=\tfrac{3}{4}m v_{\text{top}}^2\) e \(v_{\text{top}}^2=gR\).

Substituindo, \(mgH = mg(2R) + \tfrac{3}{4}m(gR)\).

Logo, \(H_{\min}=2R+\tfrac{3}{4}R=\tfrac{11}{4}R\).