Por que a mudança de referencial inercial torna a comparação de tempos próprios não recíproca na Relatividade Restrita?

Porque o tempo próprio é dependente da linha de mundo; quem muda de referencial inercial percorre uma trajetória diferente e, portanto, acumula menos tempo próprio.

Explicação:
O tempo próprio entre dois eventos é dado por \(\tau=\int \sqrt{1-v^2/c^2}\,dt\), assim para trajetórias com trechos de velocidade constante temos \(\tau=\sum \Delta t_i\sqrt{1-v_i^2/c^2}\).
Um observador que permanece em um único referencial inercial tem uma única velocidade (por exemplo \(v=0\)) durante todo o intervalo, já o outro pode trocar de referencial inercial em algum ponto, o que altera os \(\Delta t_i\) e os \(v_i\), levando a um \(\tau\) total diferente. Essa diferença não é recíproca porque apenas o observador que muda de referencial não pode ser descrito por um único referencial inercial ao longo de toda a viagem.

Exemplo:
Considere um relógio que viaja em dois trechos medidos no referencial do laboratório, cada um com duração de 3 h, um trecho com \(v=0{,}8c\) e outro com \(v=0{,}6c\).
\(\tau_{\text{trecho1}}=3\ \text{h}\sqrt{1-0{,}8^2}=3\cdot0{,}6=1{,}8\ \text{h}\)
\(\tau_{\text{trecho2}}=3\ \text{h}\sqrt{1-0{,}6^2}=3\cdot0{,}8=2{,}4\ \text{h}\)
Total: \(\tau_{\text{viajante}}=1{,}8+2{,}4=4{,}2\ \text{h}\), enquanto o relógio em repouso no laboratório registra \(T=6\ \text{h}\).
Logo, o viajante marca menos tempo próprio devido à mudança de referencial inercial e à dependência do tempo próprio da trajetória.