Como se calcula o instante do vértice de uma função quadrática e como se determina se esse vértice é máximo ou mínimo?

t_v = -b/(2a), se a < 0 o vértice é máximo, se a > 0 é mínimo.

Explicação:
Para uma função quadrática \(f(t)=at^2+bt+c\), o instante do vértice é dado por \(t_v=-\dfrac{b}{2a}\). O sinal de \(a\) indica a concavidade da parábola, concavidade para baixo (a<0) implica ponto de máximo, concavidade para cima (a>0) implica ponto de mínimo.

Exemplo:
Considere \(L(x)=-3x^2+12x+5\). Aqui \(a=-3\) e \(b=12\).
\(x_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{12}{2\cdot(-3)}=\dfrac{12}{6}=2\).
Como \(a=-3<0\), o vértice em \(x=2\) é um máximo.
Valor no vértice: \(L(2)=-3(2)^2+12(2)+5=-12+24+5=17\).
Verificação por derivada: \(L'(x)=-6x+12=0\Rightarrow x=2\).