Como determinar quatro observações ordenadas a≤b≤c≤d a partir da média, mediana, moda e da amplitude?

Defina a≤b≤c≤d, use a média para obter \(a+b+c+d\), a mediana para obter \(b+c\), a moda para identificar valores repetidos, e a amplitude \(d-a\) para montar um sistema e achar \(a\) e \(d\). Depois calcule a variância populacional \( \sigma^2=\frac{\sum (x_i-\bar x)^2}{4} \).

Explicação e exemplo
1. Determine a soma total pela média, \( \bar x=\frac{a+b+c+d}{4}\), então \(a+b+c+d=4\bar x\).
2. Pela mediana de quatro dados, \( \text{mediana}=\frac{b+c}{2}\), então \(b+c=2\cdot\text{mediana}\).
3. A moda indica qual valor aparece pelo menos duas vezes, portanto fixe \(b\) e/ou \(c\) conforme a moda.
4. Com a amplitude \(d-a\) e sabendo \(a+d=(a+b+c+d)-(b+c)\), resolva o sistema
\( \begin{cases} a+d = 4\bar x - (b+c) \\ d-a = \text{amplitude} \end{cases} \) , obtenha \(a\) e \(d\).
5. Calcule \( \sigma^2=\frac{(a-\bar x)^2+(b-\bar x)^2+(c-\bar x)^2+(d-\bar x)^2}{4}\).

Exemplo:
Suponha média \( \bar x=10\), mediana \(=11\), moda \(=11\), amplitude \(=8\).
Então \(a+b+c+d=4\cdot10=40\), e \(b+c=2\cdot11=22\). Como a moda é 11, tome \(b=c=11\).
Logo \(a+d=40-22=18\) e \(d-a=8\). Resolva:
\(2d=18+8=26\Rightarrow d=13,\quad a=5.\)
Conjunto: \(5,11,11,13\), média \(10\).
Variância populacional:
\( \sigma^2=\frac{(5-10)^2+(11-10)^2+(11-10)^2+(13-10)^2}{4}=\frac{25+1+1+9}{4}=\frac{36}{4}=9.\)