Flashcard FC830910
Qual é a propriedade distributiva que expressa a união sobre a interseção para três conjuntos?
Conjuntos
SELECON · 2025
Qual é a propriedade distributiva que expressa a união sobre a interseção para três conjuntos?
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Resposta
Lei distributiva: \( (A\cap B)\cup C = (A\cup C)\cap(B\cup C) \.Prova por elemento, de forma sucinta:
Seja \(x\). Se \(x\in (A\cap B)\cup C\) então \(x\in A\cap B\) ou \(x\in C\). No primeiro caso, \(x\in A\) e \(x\in B\), então \(x\in A\cup C\) e \(x\in B\cup C\), logo \(x\in (A\cup C)\cap(B\cup C)\). No segundo caso, \(x\in C\) implica diretamente \(x\in (A\cup C)\cap(B\cup C)\).
Reciprocamente, se \(x\in (A\cup C)\cap(B\cup C)\) então \(x\in A\cup C\) e \(x\in B\cup C\). Se \(x\notin C\) segue \(x\in A\) e \(x\in B\), portanto \(x\in A\cap B\), e assim \(x\in (A\cap B)\cup C\).
Exemplo:
Considere \(A=\{1,2\}\), \(B=\{2,3\}\), \(C=\{3,4\}\).
\(A\cap B=\{2\}\), então \((A\cap B)\cup C=\{2\}\cup\{3,4\}=\{2,3,4\}\).
\(A\cup C=\{1,2,3,4\}\) e \(B\cup C=\{2,3,4\}\), logo \((A\cup C)\cap(B\cup C)=\{2,3,4\}\).
Ambos os lados coincidem, confirmando a igualdade.
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/828396
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