Como calcular quantos números com n algarismos podem ser formados sem usar determinados dígitos?

Multiplicando as escolhas por posição.

Explicação:
Conte quantas opções válidas existem para cada casa decimal e multiplique essas quantidades.
Se o dígito 0 estiver proibido entre os permitidos, cada uma das n posições tem k escolhas, total \(k^n\).
Se 0 estiver permitido, a primeira casa não pode ser 0, então a primeira tem (k-1) escolhas e as demais têm k escolhas, total \((k-1)\cdot k^{\,n-1}\).

Exemplo:
Quantos números de 4 algarismos existem sem usar os dígitos 2 e 7?
Os dígitos permitidos são {0,1,3,4,5,6,8,9}, portanto \(k=8\).
A primeira casa não pode ser 0, então há \(7\) escolhas para a primeira e \(8\) para cada uma das outras três, total \(7\cdot 8^3\).
Calculando, \(7\cdot 8^3=7\cdot 512=3584\).