Se uma condicional \(A \to B\) é verdadeira e \(B\) é falsa, o que se conclui sobre \(A\)?

A é falsa.

Pela regra do modus tollens, de \(A \to B\) e \(\neg B\) segue \(\neg A\).
A condicional só seria falsa se \(A\) fosse verdadeira e \(B\) falsa, como temos \(\neg B\) e a condicional verdadeira, não pode ocorrer \(A\) verdadeiro, logo \(\neg A\).

exemplo:
Se a lâmpada está ligada \( (A \to B)\), então a sala está iluminada.
Suponha que a sala não está iluminada \((\neg B)\).
Pela inferência \(A \to B,\ \neg B \vdash \neg A\), concluímos que a lâmpada não está ligada \((\neg A)\).