Como usar contraposição de \(∀x\,(R(x)\to\neg Q(x))\) e a existência \(∃x\,(P(x)\land Q(x))\) para concluir \(∃x\,(P(x)\land\neg R(x))\)?

Aplicando contraposição e instanciando o existencial

Partindo de \(∀x\,(R(x)\to\neg Q(x))\), contrapõe-se para obter \(∀x\,(Q(x)\to\neg R(x))\).
Da existência \(∃x\,(P(x)\land Q(x))\) toma-se um indivíduo \(a\) com \(P(a)\land Q(a)\).
Aplicando \(∀x\,(Q(x)\to\neg R(x))\) a \(a\), obtém-se \(\neg R(a)\).
Logo \(P(a)\land\neg R(a)\) e, portanto, \(∃x\,(P(x)\land\neg R(x))\).

exemplo:
Considere: \(∃x\,(E(x)\land N(x))\) "alguns empregados trabalham à noite", e \(∀x\,(M(x)\to\neg N(x))\) "nenhum motorista trabalha à noite".
Contrapondo \(∀x\,(M(x)\to\neg N(x))\) obtemos \(∀x\,(N(x)\to\neg M(x))\).
Do indivíduo com \(E(a)\land N(a)\) segue \(\neg M(a)\), então \(E(a)\land\neg M(a)\), e assim \(∃x\,(E(x)\land\neg M(x))\), "algum empregado não é motorista".