Flashcard FC831585
De \( \forall x\,(P(x)\to Q(x)) \) e \( \forall x\,(R(x)\to \neg Q(x)) \), como inferir \( \forall x\,(P(x)\to \neg R(x)) \)?
Lógica de Proposições
SELECON · 2024
De \( \forall x\,(P(x)\to Q(x)) \) e \( \forall x\,(R(x)\to \neg Q(x)) \), como inferir \( \forall x\,(P(x)\to \neg R(x)) \)?
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Resposta
Sim. Porque P(x) e R(x) implicariam Q(x) e ¬Q(x), uma contradição, logo \(P(x)\to \neg R(x)\) para todo x.Explicação:
Partindo de \( \forall x\,(P(x)\to Q(x)) \) e \( \forall x\,(R(x)\to \neg Q(x)) \), tome um elemento arbitrário a; suponha \(P(a)\) e \(R(a)\).
Da primeira premissa segue \(Q(a)\), da segunda segue \( \neg Q(a)\).
Como isso é contraditório, a conjunção \(P(a)\) e \(R(a)\) é impossível, portanto \(P(a)\to \neg R(a)\).
Como a foi arbitrário, concluímos \( \forall x\,(P(x)\to \neg R(x)) \).
Exemplo:
Considere \( \forall x\,(Estuda(x)\to Passa(x)) \) e \( \forall x\,(Copia(x)\to \neg Passa(x)) \).
Se alguém estudasse e copiasse, teria \(Passa\) e \( \neg Passa\), contradizendo. Logo \( \forall x\,(Estuda(x)\to \neg Copia(x)) \).
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