Se temos "Todo P é A" e "Todo P é E", isso garante logicamente que existe um indivíduo que é A e E?

Resposta

Não necessariamente.

Explicação:
As premissas universais dão \( \forall x (P(x)\to A(x))\) e \( \forall x (P(x)\to E(x))\), portanto \(P\subseteq A\) e \(P\subseteq E\), logo \(P\subseteq A\cap E\).
No entanto, a conclusão existencial \( \exists x (A(x)\land E(x))\) só é garantida se existir ao menos um indivíduo em \(P\), isto é \( \exists x\,P(x)\). Se \(P\) for vazio, as universais são verdadeiras e a existência não decorre.

Exemplo:
1) Caso sem existência: \(P=\varnothing\), \(A=\{a\}\), \(E=\{e\}\).
As afirmações "Todo P é A" e "Todo P é E" são verdadeiras (vacuamente), mas não existe \(x\) que seja simultaneamente \(A\) e \(E\).

2) Caso com existência: \(P=\{p\}\), e \(p\in A\) e \(p\in E\).
Aí sim existe \(x\) tal que \(A(x)\land E(x)\), pois \(p\) pertence a \(A\cap E\).