Como determinar o próximo termo quando as diferenças entre termos seguem uma progressão aritmética (ex.: +1,+2,+3,...) ou quando as diferenças dobram a cada passo?

Calcule a próxima diferença apropriada e some ao último termo.

Explicação:
1) Calcule as diferenças consecutivas \(d_i=a_{i+1}-a_i\).
2) Se as segundas diferenças \(d_{i+1}-d_i\) forem constantes, as diferenças formam uma progressão aritmética, então a próxima diferença é \(d_{n}+c\), onde \(c\) é a constante, e o próximo termo é \(a_{n+1}=a_n+(d_{n}+c)\).
3) Se as diferenças se multiplicam por 2 a cada passo, a próxima diferença é \(d_{n}\times 2\), e o próximo termo é \(a_{n+1}=a_n+(d_{n}\times 2)\).

Exemplo:
Primeira sequência: 3, 5, 8, 12
Cálculo das diferenças: \(2, 3, 4\), as segundas diferenças são \(1,1\), constante \(c=1\). Próxima diferença \(=4+1=5\). Próximo termo \(=12+5=17\).

Segunda sequência: 2, 6, 14, 30
Cálculo das diferenças: \(4, 8, 16\), elas dobram, próxima diferença \(=16\times 2=32\). Próximo termo \(=30+32=62\).

Se houver uma terceira linha obtida pela operação produto por coluna, o termo correspondente é \(3\times 2=6\), \(5\times 6=30\), \(8\times 14=112\), e assim por diante.