Para uma sequência definida por \(a_n=2a_{n-1}+n\), como expressar \(a_n-a_{n-1}\) em função de \(a_{n-1}\) e \(n\)?

Resposta

\(a_n-a_{n-1}=a_{n-1}+n\)

Explicação:
Partindo de \(a_n=2a_{n-1}+n\), subtraia \(a_{n-1}\) em ambos os lados, resultando em \(a_n-a_{n-1}=a_{n-1}+n\).
Portanto a diferença entre termos é o termo anterior mais o índice \(n\).

exemplo:
Considere \(a_1=2\).
\(a_2=2\cdot2+2=6\)
\(a_3=2\cdot6+3=15\)
Pelo resultado, \(a_3-a_2=a_2+3=6+3=9\), e de fato \(15-6=9\).