Como calcular termos de uma sequência quando as diferenças entre termos aumentam de 1 a cada passo?

Somando as diferenças crescentes em 1.

Se a primeira diferença é \(d_1\), então a k-ésima diferença é \(d_k=d_1+(k-1)\).
A fórmula geral para o n-ésimo termo é
\(a_n = a_1 + (n-1)d_1 + \dfrac{(n-1)(n-2)}{2}\)

Exemplo:
Considere \(a_1=2\) e \(d_1=1\), assim as diferenças são \(1,2,3,4,\dots\).
Calcular \(a_5\): \(a_5=2+(5-1)\cdot1+\dfrac{(5-1)(5-2)}{2}=2+4+\dfrac{4\cdot3}{2}=2+4+6=12\).
Logo a sequência é \(2,3,5,8,12,\dots\) e as diferenças são \(1,2,3,4\).