Numa pirâmide quadrangular regular de altura 12 cm e base de lado 8 cm, qual o valor de y (distância do vértice a uma seção paralela à base) que maximiza a área total do paralelepí

Resposta

O valor de y que maximiza a área total do paralelepípedo é 9 cm.

Pela semelhança entre os quadrados da base e da seção: \(l/8=y/12\), portanto \(l=\dfrac{2y}{3}\), onde \(l\) é o lado da seção.

A área total do paralelepípedo é \(A=2l^2+4l(12-y)\). Substituindo \(l=\dfrac{2y}{3}\) obtém-se \(A=\dfrac{8y^2}{9}+\dfrac{8y}{3}(12-y)=-\dfrac{16}{9}y^2+32y\).

Como é uma parábola voltada para baixo, o máximo ocorre no vértice: \(y_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{32}{2\left(-\tfrac{16}{9}\right)}=9\) cm.