Flashcard FC874472
Para quais valores de k o triângulo com vértices A(k,7), B(3,1) e C(9,1) é retângulo?
Geometria Analítica
FGV · 2026
Para quais valores de k o triângulo com vértices A(k,7), B(3,1) e C(9,1) é retângulo?
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Resposta
Os valores são k=3 e k=9, cuja soma é 12.Calcule as distâncias ao quadrado: \(BC^2=(3-9)^2+(1-1)^2=36\), \(AB^2=(k-3)^2+(7-1)^2=(k-3)^2+36\) e \(AC^2=(k-9)^2+36\).
Se o ângulo reto estivesse em A, teríamos \(AB^2+AC^2=BC^2\), ou \((k-3)^2+(k-9)^2+72=36\), o que leva a soma de dois quadrados igual a \(-36\), impossível.
Se o ângulo reto estiver em B, vale \(AC^2=AB^2+BC^2\), que dá \((k-9)^2+36=(k-3)^2+36+36\) e simplificando obtém-se \(k=3\).
Se o ângulo reto estiver em C, vale \(AB^2=AC^2+BC^2\), que dá \((k-3)^2+36=(k-9)^2+36+36\) e simplificando obtém-se \(k=9\).
Veja como foi cobrado:
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