Se a área do quadrado é S, qual é a área da região comum aos dois setores circulares centrados em vértices opostos e com raio igual ao lado do quadrado?

Resposta

A área é \(S\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=\frac{S(\pi-2)}{2}\).

Seja o lado do quadrado \(a\), com \(a^2=S\).

A distância entre os centros é \(d=AC=a\sqrt{2}\) e o ângulo central da lente é \(\theta=2\arccos\!\big(\tfrac{d}{2a}\big)=2\arccos\!\big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\big)=\tfrac{\pi}{2}\).

A área de interseção vale \(a^2(\theta-\sin\theta)=a^2\!\left(\tfrac{\pi}{2}-1\right)\).

Substituindo \(a^2=S\) obtém-se \(S\left(\tfrac{\pi}{2}-1\right)=\tfrac{S(\pi-2)}{2}\).