Qual a fórmula da inclusão‑exclusão para três conjuntos e que dado adicional é necessário para determinar univocamente \(n(A\cap B\cap C)\)?

Fórmula: \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C).\)

É necessário conhecer o valor de \(n(A\cup B\cup C)\) (ou assumir que a união é igual ao total do universo) para determinar univocamente \(n(A\cap B\cap C)\).

Assim, rearranjando:
\(n(A\cap B\cap C)=n(A\cup B\cup C)-n(A)-n(B)-n(C)+n(A\cap B)+n(A\cap C)+n(B\cap C).\)

Exemplo:
Suponha: \(n(A)=200,\; n(B)=150,\; n(C)=120,\; n(A\cap B)=80,\; n(A\cap C)=50,\; n(B\cap C)=30\) e saiba que \(n(A\cup B\cup C)=350\).
Então
\(n(A\cap B\cap C)=350-(200+150+120)+(80+50+30)=350-470+160=40.\)

Se \(n(A\cup B\cup C)\) não for conhecido, não se obtém um valor único para \(n(A\cap B\cap C)\).