Flashcard FC97541
Se uma densidade de probabilidade contínua é simétrica em torno de a, qual é o valor esperado E[X]?
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Se uma densidade de probabilidade contínua é simétrica em torno de a, qual é o valor esperado E[X]?
Mostrar resposta e comentário
Resposta
E[X] = aPara uma densidade f com simetria em torno de a (ou seja, \(f(a+t)=f(a-t)\)), tem-se
\(E[X]=\int x f(x)\,dx = a + \int (x-a)f(x)\,dx\),
e o termo \(\int (x-a)f(x)\,dx\) é zero por ser uma função ímpar em torno de a, logo \(E[X]=a\).
Exemplo:
Considere a densidade triangular simétrica no intervalo \([0,4]\) com pico em 2:
\(f(x)=\begin{cases}x/4,&0\le x\le2,\\[4pt](4-x)/4,&2Calcule \(E[X]\):
\(E[X]=\int_0^2 x\frac{x}{4}\,dx+\int_2^4 x\frac{4-x}{4}\,dx\)
\(=\frac{1}{4}\int_0^2 x^2\,dx+\frac{1}{4}\int_2^4 (4x-x^2)\,dx\)
\(=\frac{1}{4}\cdot\frac{8}{3}+\frac{1}{4}\cdot\frac{16}{3}=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=2\),
confirmando que \(E[X]\) é o ponto de simetria, \(2\).
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/51987
Conteúdo do catálogo FC Concursos · Atualizado em