Flashcard FC97542
Qual condição de normalização deve satisfazer uma função densidade de probabilidade contínua para que uma constante multiplicativa seja determinada?
Variáveis Aleatórias
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Qual condição de normalização deve satisfazer uma função densidade de probabilidade contínua para que uma constante multiplicativa seja determinada?
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Resposta
A integral total sobre o suporte deve ser 1; impõe-se \( \int f(x)\,dx=1\) e resolve-se para a constante.Para determinar uma constante de normalização, calcule a integral da forma \(k\cdot g(x)\) sobre o suporte da variável e resolva a equação \(k\int g(x)\,dx=1\) para \(k\).
Exemplo:
Considere \(f(x)=k(1-x^2)\) para \(x\in[-1,1]\) e \(f(x)=0\) fora.
Impondo normalização:
\( \displaystyle \int_{-1}^{1} k(1-x^2)\,dx = 1\).
Calculando:
\(k\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx = k\left[ x-\tfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = k\big((1-\tfrac{1}{3})-(-1+\tfrac{1}{3})\big)=k\cdot\tfrac{4}{3}.\)
Logo \(k\cdot\tfrac{4}{3}=1\Rightarrow k=\tfrac{3}{4}\).
Assim a densidade normalizada é \(f(x)=\tfrac{3}{4}(1-x^2)\) em \([-1,1]\).
Veja como foi cobrado:
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