Quando a união de uma sequência crescente de subconjuntos de um conjunto P é igual a P?

Quando todo elemento de P pertence a algum P_n; isto é, para cada x∈P existe n tal que x∈P_n.

Explicação.
Como cada P_n é subconjunto de P, segue \( \bigcup_{n=1}^\infty P_n \subseteq P\).
Se além disso todo elemento de P aparece em algum P_n, então \(P \subseteq \bigcup_{n=1}^\infty P_n\).
Com ambas inclusões obtemos a igualdade \(P=\bigcup_{n=1}^\infty P_n\).

Exemplo:
Defina \(A_n=\{1,2,\dots,n\}\). Então cada \(A_n\subseteq\mathbb{N}\), logo \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\subseteq\mathbb{N}\).
Para qualquer \(k\in\mathbb{N}\) escolha \(n=k\); então \(k\in A_n\), portanto \(\mathbb{N}\subseteq\bigcup_{n=1}^\infty A_n\).
Assim \(\bigcup_{n=1}^\infty A_n=\mathbb{N}\).