Como o discriminante Δ determina a quantidade de raízes reais de uma função quadrática?

Δ = b² - 4ac. Indica: Δ>0 → duas raízes reais distintas; Δ=0 → uma raiz real dupla; Δ<0 → nenhuma raiz real.

Explicação:
O discriminante aparece na fórmula quadrática \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).
Se \( \Delta>0 \) então \(\sqrt{\Delta}\) é real e diferente de zero → duas soluções distintas.
Se \( \Delta=0 \) então \(\sqrt{\Delta}=0\) → uma solução real dupla \(x=-\dfrac{b}{2a}\).
Se \( \Delta<0 \) então \(\sqrt{\Delta}\) é imaginária → sem soluções reais.

Exemplo:
Considere \(f(x)=x^{2}-5x+6\).
\( \Delta=(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6=25-24=1>0\).
Logo \(x=\dfrac{5\pm\sqrt{1}}{2}=\dfrac{5\pm1}{2}\), ou seja \(x=3\) e \(x=2\).