Flashcard FC97869
Como determinar os pontos de interseção entre uma circunferência e uma elipse?
Geometria Analítica
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Como determinar os pontos de interseção entre uma circunferência e uma elipse?
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Resposta
Para determinar os pontos de interseção entre uma circunferência e uma elipse, iguala-se as equações das duas figuras e resolve-se o sistema de equações resultante. Isso pode envolver isolar uma variável e substituí-la na outra equação, resultando em uma equação polinomial que pode ser resolvida pelo método apropriado, como a fórmula de Bháskara. Exemplo: Considere uma circunferência de raio 3 com centro na origem, cuja equação é dada por: \( x^2 + y^2 = 9 \) E uma elipse com a equação: \( \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 \) Para encontrar os pontos de interseção, primeiro isolamos \( y^2 \) na equação da circunferência: \( y^2 = 9 - x^2 \) Substituindo na equação da elipse, obtemos: \( \frac{x^2}{9} + \frac{9 - x^2}{4} = 1 \) Desenvolvendo essa expressão: \( \frac{x^2}{9} + \frac{9}{4} - \frac{x^2}{4} = 1 \) Multiplicando toda a equação por 36 (mínimo múltiplo comum) para eliminar as frações: \( 4x^2 + 81 - 9x^2 = 36 \) Resultando em: \( -5x^2 + 45 = 0 \) Portanto, \( x^2 = 9 \) e as soluções para \( x \) são \( x = 3 \) e \( x = -3 \). Substituindo essas soluções de volta na equação da circunferência, podemos achar os correspondentes valores de \( y \).Veja como foi cobrado:
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