Flashcard FC97882
Quais são os passos principais para calcular a integral de uma função do tipo \( g(x) = xe^{-x} \) utilizando integração por partes?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Quais são os passos principais para calcular a integral de uma função do tipo \( g(x) = xe^{-x} \) utilizando integração por partes?
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Resposta
Para calcular a integral, você deve: 1) Identificar \( u \) e \( dv \) para aplicar a fórmula \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \); 2) Avaliar os limites da expressão resultante e da integral.Exemplo: Vamos calcular a integral \( \int_0^{+\infty} x^2 e^{-x} dx \) com integração por partes. Neste caso, escolhemos \( u = x^2 \) e \( dv = e^{-x}dx \). Assim, temos: - \( du = 2x \, dx \) - \( v = -e^{-x} \) Aplicando a fórmula, obtemos: \[ \int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} \biggr|_{0}^{+\infty} + \int 2x e^{-x} dx \] Calculamos o limite do primeiro termo. Quando \( x \rightarrow +\infty \), \( -x^2 e^{-x} \rightarrow 0 \). Portanto, precisamos calcular \( \int 2x e^{-x} dx \), que também pode ser resolvido por partes novamente, e assim obtemos a resposta final que será \( 2 \). Dessa forma, seguimos a mesma lógica das avaliações anteriores e obtemos resultados pertinentes.
Veja como foi cobrado:
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