Flashcard FC97890
Como o produto escalar entre o gradiente de uma função e a derivada de um caminho pode indicar se há uma subida ou descida ao longo desse caminho?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Como o produto escalar entre o gradiente de uma função e a derivada de um caminho pode indicar se há uma subida ou descida ao longo desse caminho?
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Resposta
Para determinar se há uma subida ou descida, calculamos o produto escalar. Se o resultado for positivo, indica que estamos indo na direção de aumento da função; se for negativo, indica que estamos descendo.Exemplo: Considere a função \( f(x, y) = 3x^2 + 4y^2 \). O gradiente é \( \nabla f(x, y) = (6x, 8y) \). Se temos um caminho dado por \( c(t) = (2t, t^2) \), então \( \frac{dc(t)}{dt} = (2, 2t) \). Em \( t = 1 \): \( \nabla f(2, 1) \cdot \frac{dc(t)}{dt}\bigg|_{t=1} = (6\cdot2, 8\cdot1) \cdot (2, 2) = (12, 8) \cdot (2, 2) = 12\cdot2 + 8\cdot2 = 40 \), positivo, portanto, há uma subida ao longo do caminho.
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