Flashcard FC97891
Qual é a direção de maior inclinação (máxima variação) de uma função diferenciável f(x,y) em um ponto?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Qual é a direção de maior inclinação (máxima variação) de uma função diferenciável f(x,y) em um ponto?
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Resposta
Direção do gradiente \(\nabla f\) no ponto (e - \nabla f para a maior descida).Explicação:
A direção de máxima variação é dada pelo vetor gradiente \(\nabla f=(f_x,f_y)\).
A direção unitária correspondente é \(\dfrac{\nabla f}{\|\nabla f\|}\).
A maior descida ocorre na direção \(-\nabla f\).
Exemplo:
Seja \(f(x,y)=x e^{y}\).
Calcula-se \(f_x=e^{y},\; f_y=x e^{y}\), então \(\nabla f=(e^{y},\,x e^{y})\).
No ponto \((1,0)\): \(\nabla f=(1,1)\).
Logo, a direção de maior subida é \((1,1)\) (unitária \(\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)\)) e a maior descida é \((-1,-1)\).
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