Flashcard FC97892
Qual é a condição para que uma solução da equação diferencial \( Ay'' + By' + C(y) = 0 \) seja limitada no intervalo \( t > 0 \) quando \( A \) e \( B \) têm sinais contrários?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Qual é a condição para que uma solução da equação diferencial \( Ay'' + By' + C(y) = 0 \) seja limitada no intervalo \( t > 0 \) quando \( A \) e \( B \) têm sinais contrários?
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Resposta
Para que a solução seja limitada no intervalo \( t > 0 \), deve-se garantir que a contribuição da parte exponencial decresça para que a solução não tenda a infinito ou oscile indefinidamente. Por exemplo, se \( A > 0 \) e \( B < 0 \), a solução será limitada.Exemplo: Considere a equação diferencial \( y'' - 4y' = 0 \). Através da solução característica, temos \( r(r - 4) = 0 \) com raízes \( r_1 = 0 \) e \( r_2 = 4 \). Assim, a solução geral é \( y(t) = c_1 + c_2 e^{4t} \). Note que, para valores de \( c_2 > 0 \), a solução cresce indefinidamente conforme \( t \to \infty \). Portanto, esta solução não é limitada para \( t > 0 \).
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