Flashcard FC97894
Como se usa o núcleo de uma transformação linear para verificar se ela é injetiva e, em espaços de mesma dimensão finita, invertível?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
Como se usa o núcleo de uma transformação linear para verificar se ela é injetiva e, em espaços de mesma dimensão finita, invertível?
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Resposta
Se \(\ker(T)=\{0\}\) então \(T\) é injetiva; em espaços de mesma dimensão finita isso implica que \(T\) é invertível.Explicação:
O núcleo é definido por \(\ker(T)=\{v:\;T(v)=0\}\).
Para testar injetividade resolva a equação \(T(v)=0\).
Se a única solução for \(v=0\), então o núcleo é \{0\} e \(T\) é injetiva; se existir vetor não nulo no núcleo, \(T\) não é injetiva.
exemplo: Seja \(S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) dada por \(S(x,y)=(x+y,\;2x+2y)\). Resolver \(S(x,y)=(0,0)\) dá
\(x+y=0,\;2x+2y=0\), que são equivalentes, logo \(x=-y\) e \(\ker S=\operatorname{span}\{(1,-1)\}\) (não trivial). Portanto \(S\) não é injetiva (e não é invertível).
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