Flashcard FC97895
O que indica det(A) ≠ 0 sobre uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2023
O que indica det(A) ≠ 0 sobre uma transformação linear entre espaços vetoriais de mesma dimensão?
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Resposta
Determinante não nulo indica que a transformação é invertível (ou seja, bijetora) e tem núcleo trivial.Explicação:
Se \(\det A\neq 0\) então a matriz \(A\) é inversível, logo a transformação linear associada é injeção (kernel = \(\{0\}\)) e sobrejeção (imagem = todo o espaço).
Exemplo:
Considere \(A=\begin{pmatrix}2&1\\[2pt]1&1\end{pmatrix}\).
\(\det A=2\cdot1-1\cdot1=1\neq0\).
Logo \(A\) é inversível com \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\[2pt]-1&2\end{pmatrix}\).
Para \(T(x,y)=(2x+y,\;x+y)\), a equação \(T(x,y)=(0,0)\) leva ao sistema \(\begin{cases}2x+y=0\\[2pt]x+y=0\end{cases}\), cuja única solução é \(x=y=0\), confirmando o núcleo trivial e a invertibilidade.
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