Como encontrar um termo comum entre uma progressão aritmética e o conjunto dos múltiplos de 7?

Resposta

Resolver a congruência modular \(a+r\cdot n\equiv0\pmod{7}\) para algum inteiro \(n\).

Escreva o termo geral da PA: \(T_n=a+r\cdot n\).
Exija \(T_n\equiv0\pmod7\) e resolva a congruência encontrando \(n\) (usando o inverso de \(r\) módulo 7 ou testando resíduos \(0,\dots,6\)).
Assim se obtém os termos da PA que são múltiplos de 7.

exemplo:
PA com \(a=3\) e \(r=4\): \(T_n=3+4n\).
Resolver \(3+4n\equiv0\pmod7\Rightarrow4n\equiv4\pmod7\).
Como o inverso de \(4\) módulo \(7\) é \(2\) (pois \(4\cdot2\equiv1\)), temos \(n\equiv2\cdot4\equiv1\pmod7\).
Logo \(n=1\) dá \(T_1=3+4\cdot1=7\), que é múltiplo de 7; termos seguintes são obtidos somando 7·(razão inversa) conforme a solução modular.