Como calcular o número de maneiras de escolher k pessoas de n, garantindo que duas pessoas específicas não estejam juntas?

Calcule todas as combinações \(C_{n,k}\) e subtraia as combinações em que as duas específicas aparecem juntas, ou seja \(C_{n,k}-C_{n-2,k-2}\).

Explicação:
1. Total de seleções sem restrição: \(C_{n,k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\).
2. Se as duas específicas devem estar juntas, as fixamos e escolhemos os restantes \(k-2\) entre os outros \(n-2\): \(C_{n-2,k-2}\).
3. Assim, seleções em que não aparecem juntas: \(C_{n,k}-C_{n-2,k-2}\).

Exemplo:
Escolher 4 pessoas entre 9, evitando que duas específicas fiquem juntas:
\(C_{9,4}=\dfrac{9!}{4!5!}=126\)
\(C_{7,2}=\dfrac{7!}{2!5!}=21\) (casos em que as duas estão juntas)
Portanto, sem que estejam juntas: \(126-21=105\).