Como calcular o número de maneiras de distribuir itens indistinguíveis entre recipientes distintos garantindo uma quantidade mínima em cada um deles?

Resposta: Subtraia os mínimos de cada recipiente, conte as soluções não negativas da soma restante usando combinação com repetição: \( \binom{S'+n-1}{n-1} \), onde \(S'=S-\sum m_i\).

Explicação e exemplo:
Se há \(n\) recipientes e \(S\) itens indistinguíveis, e o i-ésimo recipiente deve receber pelo menos \(m_i\), faça \(x_i=y_i+m_i\). Então \(y_1+\dots+y_n=S-\sum m_i = S'\) com \(y_i\ge 0\). O número de soluções é dado por estrelas e barras: \( \binom{S'+n-1}{n-1} \).

Exemplo: Distribuir 12 balas indistinguíveis entre 5 crianças, cada uma recebendo pelo menos 1.
Aqui \(S=12\), \(n=5\), \(\sum m_i=5\) então \(S'=7\).
Número de distribuições: \( \binom{7+5-1}{5-1}=\binom{11}{4}=330\).