Flashcard FC98110
Uma matriz quadrada possui finitas raízes quadradas. Verdadeiro ou falso?
Matrizes
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Uma matriz quadrada possui finitas raízes quadradas. Verdadeiro ou falso?
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Resposta
A afirmação é verdadeira, pois uma matriz quadrada que é uma raiz quadrada de outra matriz quadrada pode ter apenas um número finito de soluções, dependendo dos valores dos elementos da matrizPor exemplo, considere a matriz \( N = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). Queremos encontrar a matriz \( S \) tal que \( SS = N \). Vamos considerar \( S = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \). Logo, temos: \( SS = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ 0 & d^2 \end{pmatrix} \) = \( N \) Isso nos leva ao sistema de equações: \( a^2 = 1 \) \( d^2 = 1 \) As soluções são \( a = 1 \) ou \( a = -1 \) e \( d = 1 \) ou \( d = -1 \). Assim, as matrizes que satisfazem a equação são: \( S_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \( S_2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \( S_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \) e \( S_4 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \). Portanto, essa matriz possui apenas 4 raízes quadradas distintas.
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