Flashcard FC98111
O que garante que uma matriz \( A \) que satisfaz a equação \( A^2 + 2A + I_n = 0 \) é inversível?
Matrizes
CEBRASPE (CESPE) · 2021
O que garante que uma matriz \( A \) que satisfaz a equação \( A^2 + 2A + I_n = 0 \) é inversível?
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Resposta
Uma matriz é inversível se seu determinante é diferente de zero.Para a equação \( A^2 + 2A + I_n = 0 \), rearranjando, obtemos \( I_n = -A^2 - 2A \). Multiplicando ambos os lados por \( A \) e aplicando a propriedade dos determinantes, concluímos que \( \det(A) \cdot \det(A + 2I) = 1 \), portanto, \( \det(A) \neq 0 \).
Exemplo:
Consideremos a matriz \( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \). Para verificar sua inversibilidade, calculamos o determinante: \det(B) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2. Como o determinante é diferente de zero, a matriz \( B \) é inversível.
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