Flashcard FC98113
Qual é a relação entre o determinante de uma matriz do tipo \(A - xI\) e a matriz original \(A\)?
Determinantes
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Qual é a relação entre o determinante de uma matriz do tipo \(A - xI\) e a matriz original \(A\)?
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Resposta
O determinante da matriz \(A - xI\) é um polinômio de segundo grau em \(x\) que pode ser expresso como \(x^2 - \text{tr}(A)x + \text{det}(A)\), onde \(\text{tr}(A)\) é a soma dos elementos da diagonal principal e \(\text{det}(A)\) é o determinante da matriz \(A\).Exemplo: Considere a matriz \(B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). Então, temos:
\(\text{tr}(B) = 2 + 2 = 4\)
\(\text{det}(B) = (2)(2) - (1)(1) = 4 - 1 = 3\)
A expressão \(det(B - xI_2)\) se torna:
\(det\left(\begin{pmatrix} 2 - x & 1 \\ 1 & 2 - x \end{pmatrix}\right) = (2 - x)(2 - x) - (1)(1) = (2 - x)^2 - 1 = x^2 - 4x + 3\). Portanto, \(\text{det}(B - xI_2) = x^2 - \text{tr}(B)x + \text{det}(B) = x^2 - 4x + 3\).
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