O que significa dizer que um sistema linear homogêneo possui infinitas soluções?

Que o núcleo de \(A\) é não trivial (nulidade > 0): existem vetores não nulos \(v\) tais que \(Av=0\).

Isso equivale a dizer que a matriz \(A\) é singular.
Se \(Ax=b\) for consistente, o conjunto de soluções é: um ponto particular + o subespaço nulo, portanto será infinito quando a nulidade for positiva; porém, se \(b\) não pertence à imagem (espaço coluna) de \(A\), então \(Ax=b\) é inconsistente e não tem solução.

Exemplo:
\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]2&4&6\end{pmatrix}\) (linhas proporcionais → posto 1, nulidade 2).
Homogêneo: \(x_1+2x_2+3x_3=0\) → duas variáveis livres → infindade de soluções não nulas.

Consistente caso \(b=(6,12)\): segunda equação = 2×primeira, então há soluções infinitas. Por exemplo, escolhendo \(x_2=0,x_3=0\) obtém-se \(x_1=6\), e todas as soluções = \((6,0,0)+\ker(A)\).

Inconsistente caso \(b=(0,1)\): as equações ficam \(x_1+2x_2+3x_3=0\) e \(2x_1+4x_2+6x_3=1\), levando a \(0=1\) — sem solução.