Como se determina o ponto de uma circunferência que é o mais próximo de uma reta?

Intersecção da circunferência com a reta que passa pelo centro e é perpendicular à reta dada; escolhe-se o ponto que fica entre o centro e a reta.

Explicação e procedimento:
1) Calcular o coeficiente angular \(m\) da reta dada.
2) A reta perpendicular terá coeficiente \(-1/m\) e deve passar pelo centro da circunferência \(C\).
3) Determinar a interseção entre essa reta perpendicular e a circunferência: estes são os candidatos.
4) O ponto mais próximo da reta é o desses que fica do lado da reta (ou, equivalentemente, o que tem menor distância à reta).

Exemplo:
Considere a circunferência \((x-1)^2+(y-1)^2=4\) (centro \( (1,1)\), raio \(2\)) e a reta \(l: y=2x+4\).
Coeficiente de \(l\): \(m=2\). Reta perpendicular por \((1,1)\): \(y-1=-\tfrac12(x-1)\), ou \(y=-\tfrac12x+\tfrac32\).
Interseção com a circunferência: substituir \(y=-\tfrac12x+\tfrac32\) em \((x-1)^2+(y-1)^2=4\), obtém-se a equação
\(5x^2-10x-11=0\), cujas soluções são \(x=1\pm\frac{4\sqrt5}{5}\).
Assim os pontos de interseção são \(\big(1\pm\frac{4\sqrt5}{5},\;-\tfrac12(1\pm\frac{4\sqrt5}{5})+\tfrac32\big)\).
Calculando numericamente, o ponto mais próximo à reta é aproximadamente \((-0{,}78885,\;1{,}8944)\).
A distância do centro à reta é \(\dfrac{|2\cdot1-1+4|}{\sqrt5}=\sqrt5\approx2{,}236\), logo a menor distância da circunferência à reta é \(\sqrt5-2\approx0{,}236\), alcançada pelo ponto acima.