Flashcard FC98158
Quais condições garantem que os autovalores da matriz I - C sejam reais e distintos em um modelo econômico?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Quais condições garantem que os autovalores da matriz I - C sejam reais e distintos em um modelo econômico?
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Resposta
Os autovalores da matriz I - C serão reais e distintos se a condição \((a + d)^2 > 4(ad - bc)\) for satisfeita.Exemplo: Considerando uma matriz de consumo C dada por
C = \begin{pmatrix} 0.3 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 \end{pmatrix} e um vetor de demanda externa d = \begin{pmatrix} 10 \\ 20 \end{pmatrix}, vamos calcular a matriz I - C:
I - C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0.3 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.7 & -0.2 \\ -0.1 & 0.6 \end{pmatrix}.
Para garantir que os autovalores sejam reais e distintos, com a = 0.3, b = 0.2, c = 0.1, d = 0.4, temos:
\((0.3 + 20)^2 > 4(0.3*0.4 - 0.1*0.2)\), que simplificando resulta em \( (20.3)^2 > 4(0.12) \), o que é verdade. Assim, os autovalores de I - C são reais e distintos.
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