Flashcard FC98160
Como se obtém a taxa temporal de uma variável usando diferenciação implícita em uma equação que relaciona duas variáveis dependentes do tempo?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Como se obtém a taxa temporal de uma variável usando diferenciação implícita em uma equação que relaciona duas variáveis dependentes do tempo?
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Resposta
Derive ambos os lados em relação a t, trate todas as variáveis como funções de t, e isole a derivada desejada.Explicação: Ao ter uma relação \(F(x,y)=0\) com \(x=x(t)\) e \(y=y(t)\), aplicamos a derivada em ambos os lados: \(F_x\,x'(t)+F_y\,y'(t)=0\). Em seguida isolamos a taxa procurada, por exemplo \(x'(t)=-\dfrac{F_y}{F_x}\,y'(t)\).
Exemplo:
Considere a circunferência \(x^2+y^2=100\) com \(x=x(t)\), \(y=y(t)\). Derivando: \(2x\,x'+2y\,y'=0\).
Isolando \(x'\): \(x'=-\dfrac{y}{x}\,y'\).
Se \(x=8\), \(y=6\) (pois \(8^2+6^2=100\)) e \(y'=3\) unidades/mês, então \(x'=-\dfrac{6}{8}\cdot 3=-\dfrac{9}{4}=-2{,}25\) unidades/mês.
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