Flashcard FC98164
Como determinar e classificar os pontos críticos de uma função em um intervalo?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Como determinar e classificar os pontos críticos de uma função em um intervalo?
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Resposta
Calcule f'(x) e ache onde f'(x)=0 ou é indefinida; use f''(x) para classificar (f''>0 mínimo, f''<0 máximo) e compare valores nos extremos do intervalo para extremos globais.Para determinar pontos críticos: resolva \(f'(x)=0\) ou identifique pontos onde \(f'\) não existe.
Para classificar: aplique o teste da segunda derivada — calcule \(f''(x)\); se \(f''(c)>0\) então há mínimo local em \(c\), se \(f''(c)<0\) há máximo local; se \(f''(c)=0\) use o teste da derivada primeira ou estudo adicional.
Para extremos absolutos em um intervalo fechado: avalie \(f\) em todos os pontos críticos e nas extremidades do intervalo; o maior e o menor desses valores são os extremos globais.
Exemplo:
Considere \(g(x)=x^3-6x^2+9x\) em \([0,5]\).
Calcule \(g'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\) ⇒ pontos críticos em \(x=1\) e \(x=3\).
Calcule \(g''(x)=6x-12\): \(g''(1)=-6<0\) ⇒ máximo local em \(x=1\); \(g''(3)=6>0\) ⇒ mínimo local em \(x=3\).
Avalie extremos: \(g(0)=0\), \(g(1)=4\), \(g(3)=0\), \(g(5)=20\).
Conclusão: mínimos globais em \(x=0\) e \(x=3\) com valor 0; máximo global em \(x=5\) com valor 20.
Veja como foi cobrado:
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