Flashcard FC98176
Como o método de Newton-Raphson difere do método da secante quanto ao uso da derivada e ao número de aproximações iniciais exigidas?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Como o método de Newton-Raphson difere do método da secante quanto ao uso da derivada e ao número de aproximações iniciais exigidas?
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Resposta
Newton-Raphson: usa a reta tangente com \(f'(x_n)\) e requer uma única aproximação inicial.
Secante: aproxima a derivada por uma secante entre duas aproximações e exige duas iniciais.
Secante: aproxima a derivada por uma secante entre duas aproximações e exige duas iniciais.
Explicação:
Newton aplica a iteração \(x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) com \(f'(x_n)\neq0\); costuma convergir quadraticamente quando as hipóteses são atendidas.
A secante usa a fórmula \(x_{n+1}=x_n-f(x_n)\dfrac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}\), não precisa de \(f'\) explícita e tem convergência superlinear (menor que quadrática).
Newton aplica a iteração \(x_{n+1}=x_n-\dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}\) com \(f'(x_n)\neq0\); costuma convergir quadraticamente quando as hipóteses são atendidas.
A secante usa a fórmula \(x_{n+1}=x_n-f(x_n)\dfrac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}\), não precisa de \(f'\) explícita e tem convergência superlinear (menor que quadrática).
exemplo:
Considere \(f(x)=x^2-2\) (raiz \(\sqrt2\)).
Newton (uma inicial):
\(x_0=1.5,\quad f(x_0)=0.25,\quad f'(x_0)=2x_0=3\)
\(x_1=1.5-\dfrac{0.25}{3}=1.4166667\)
Secante (duas iniciais):
\(x_0=1,\;x_1=2,\;f(1)=-1,\;f(2)=2\)
\(x_2=2-2\cdot\dfrac{2-1}{2-(-1)}=2-\dfrac{2}{3}=1.3333333\)
Veja como foi cobrado:
https://flashcardsconcursos.com.br/portal/flashcard/86818
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