Qual é a ordem de convergência do método de Newton-Raphson para uma raiz simples?

Quadrática (ordem 2).

Explicação e exemplo:
Para uma raiz simples \(r\), com \(e_n=x_n-r\), vale aproximadamente \(e_{n+1}\approx K\,e_n^2\), onde \(K=-\dfrac{f''(r)}{2f'(r)}\).

Exemplo: tome \(f(x)=x^2-2\) com \(r=\sqrt2\). Aqui \(f'(r)=2\sqrt2\), \(f''(r)=2\) e \(K=-\dfrac{1}{2\sqrt2}\).
O iterador de Newton é \(x_{n+1}=\dfrac{x_n+2/x_n}{2}\). Com \(x_0=1\) obtemos:
\(x_1=1.5,\ e_1\approx0.085786\); \(x_2\approx1.4166667,\ e_2\approx0.0024531\).
Note que \(e_{n+1}/e_n^2\) tende a \(|K|\approx0.35355\), confirmando a convergência quadrática.