Flashcard FC98187
O que estabelece o teorema da convolução na transformada de Fourier?
Tópicos de Matemática (Ensino Superior)
CEBRASPE (CESPE) · 2022
O que estabelece o teorema da convolução na transformada de Fourier?
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Resposta
O teorema da convolução afirma que a transformada de Fourier da convolução de duas funções absolutamente integráveis é igual ao produto das transformadas de Fourier dessas funções.Esse teorema é fundamental porque permite simplificar muitos cálculos em sistemas lineares. Por exemplo, se temos duas funções \( f(t) \) e \( g(t) \), a relação é dada por:
\( F\{f(t) * g(t)\} = F\{f(t)\} \cdot F\{g(t)\} \). Isso significa que, ao realizar a convolução no domínio do tempo, podemos diretamente trabalhar com suas transformadas no domínio da frequência.
Exemplo: Se \( f(t) = e^{-t} \) e \( g(t) = u(t) \) onde \( u(t) \) é a função unitária que vale \( 1 \) para \( t \geq 0 \), a convolução \( (f * g)(t) \) pode ser encontrada. A transformada de Fourier de \( f(t) \) é \( \frac{1}{1 + j\omega} \) e a de \( g(t) \) é \( \frac{1}{j\omega} \). Portanto, usando o teorema da convolução, temos:
\( F\{f(t) * g(t)\} = F\{f(t)\} \cdot F\{g(t)\} = \frac{1}{1 + j\omega} \cdot \frac{1}{j\omega} \).
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