O conjunto dos números irracionais é fechado sob multiplicação?

Não.

O produto de dois números irracionais pode ser racional ou irracional.

Os números racionais, por outro lado, são fechados sob multiplicação: o produto de dois racionais é sempre racional.

exemplo:
\( \pi\cdot\frac{1}{\pi}=1 \) — dois irracionais com produto racional.
\( \sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6} \) — dois irracionais com produto irracional.