Flashcard FC98199
Todo subconjunto não vazio de números reais positivos possui mínimo?
Conjuntos
CEBRASPE (CESPE) · 2019
Todo subconjunto não vazio de números reais positivos possui mínimo?
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Resposta
Não.
Explicação:
Em ℕ⁺ vale o princípio da boa ordenação, então todo subconjunto não vazio tem mínimo; em ℝ_{>0} isso não ocorre necessariamente — um conjunto pode ter ínfimo sem conter esse valor, logo não ter mínimo.
Exemplo:
Considere \(A=\{\,1/n : n\in\mathbb{N}\,\}\subset\mathbb{R}_{>0}\).
Temos \(0\) como maior limite inferior (ínfimo), pois \(0\le 1/n\) para todo \(n\) e, para qualquer \(\varepsilon>0\), existe \(N\) com \(1/N<\varepsilon\).
No entanto, \(0\notin A\), e para todo \(n\) existe \(m>n\) tal que \(1/m<1/n\), portanto não existe elemento mínimo em \(A\).
Veja como foi cobrado:
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